Persamaan-persamaan sederhana

A.      Pernyataan,persamaan, dan identitas

(3x – 5) adalah satu contoh dari pernyataan aljabar, Sedangkan 3x – 5 = 1 adalah contoh dari sebuah persamaan (karena terdapat tanda “sama dengan”)

                Persamaan tidak lain merupakan suatu pernyataan yang menyebutkan bahwa dua kuantitas itu sama sebagai contoh, 1 m = 1000 mm, atau F =  C + 32 atau y = mx + c.

Identitas adalah suatu hubungan yang benar untuk semua nilai dari kuantitas tak-diketahui , sedangkan persamaan hanya benar untuk nila-nilai tertentu saja dari kuantitas tak-diketahui. Sebagai contoh ,3x – 5 = 1 adalah persamaan, karena hanya benar jika x = 2, sedangkan 3x = 8x – 5x adalah sautu identitas karena selalu benar untuk semua nilai x. (catatan ‘ ’ berarti ‘identik dengan’)

Persamaan linier sederhana (persamaan orde pertama) adalah persamaan di mana kuntitas-kuantitas tak-diketahui memiliki pangkat tertinggi sama dengan 1.

‘menyelesaikan suatu persamaan’ berarti ‘mencari nilai dari kuantitas yang diketahui’.

Semua operasi aritmetika dapat dilakukan terhadap suatu persamaan selama kesamaan dari persamaan tersebut tetap dipertahankan.

Contoh-contoh soal mengenai persamaan sederhana

Soal 1. Selesaikanlah persamaan 4x = 20.

Dengan membagi masing-masing ruas dengan 4, maka diperoleh  (perhatikan bahwa operasi yang sama telah dilakukan terhadap ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan sehingga kesamaan tetap terjaga).

Dengan penyederhana, diperoleh hasil: x = 5, yang merupakan penyelesaian dari persamaan.

                Penyelesaian untuk persamaan-persamaan sederhana harus selalu deperiksa, dan ini dapat dilakukan dengan mensubstitusikan penyelesaian ke dalam persamaan asalnya. Dalam kasus ini, ruas kiri = 4(5) = 20 = ruas kanan.

Soal 2 selesaikan

Ruas kirinya adalah pecahan dan ini dapat dihilangkan dengan cara mengalikan kedua ruas dengan 5, sehingg 5

Dengan penyederhanaan, kita memperoleh: 2x = 30 membagi kedua ruas persamaan dengan 2 akan menghasilkan:

                di mana x = 15 soal 3.

Selesikanlah a – 5 = 8

Dengan menambahkan 5 pada kedua ruas persamaan akan di hasilakan:

a – 5 + 5 = 8 + 5

maka                a = 13

Hasil dari prosedur di atas adalah pindahnya ‘-5’ dari ruas kiri persamaan semula, menyebrangi tanda sama dengan, ke ruas kanan tetapi tandanya berubah menjadi +.

Soal 4. Selesaikanlah x + 3 = 7.

Dengan mengurangkan 3 dari kedua ruas persamaan akan dihasilkan:

                                X + 3 – 3 = 7 – 3

Artinya                               X = 4

Hasil dari prosedur di atas adalah pindahnya ‘+3’ dari ruas kiri suku persamaan semula, menyebrangi tanda sama-dengan ke ruas kanan, tetapi tandanya berubah menjadi ‘-‘. Jadi suatu suku dapat dipindahkan dari satu ruas ke ruas lainnya selama kita melakukan perubahan tanda.

Soal 5. Selesaikanlah 6x + 1 = 2x + 9.

Dalam persamaan-persamaan seperti ini, suku-suku yang mengandung x dikelompokkan ke salah satu ruas dan suku-suku sisanya dikelompokkan ke ruas yang lain. Sebagaimana pada soal 3 dan 4, perubahan dari salah satu ruas suatu persamaan ke ruas lainnya harus disertai juga  dengan perubahan tanda.

Jadi, karena       6x + 1 = 2x + 9

Maka                    6x – 2x = 9 – 1

                                         4x = 8

                               

Artinya                   x = 2

Pemeriksaan: Ruas  kiri dari persamaan semula

                                = 6(2) + 1 = 13

                            Ruas kanan dari persamaan semula

Sehingga penyelesaian x = 2 adalah benar.

Agar suku P tetap positif, maka suku-suku yang mengandung p dipindahkan ke ruas kanan sedangkan suku konstantnya ke ruas kiri.

Sehingga             4 + 11 = 2p + 3p

                                       15 = 5p

                                  

Dengan demikian 3 = p atau p =3

Pemeriksaan: Ruas kiri = 4 – 3(3) = 4 – 9 = - 5

                            Ruas kanan = 2(3) – 11 = 6 – 11 = - 5

Sehingga penyelesaian p = 3 adalah benar.

                Seandainya dalam contoh ini, kuntitas-kuntitas yang tidak diketahui sudah dikelompokkan sejak awal pada ruas kiri dan bukannya pada ruas kanan, maka:

                -3p – 2p = - 11 – 4

                       -5p = -15

                        

dan                        p = 3 sebagaimana jawaban sebelumnya

Tetapi , seringkali akan lebih mudah apabila kita bekerja dengan nilai-nilai positif sebisa mungkin.

Soal  7. Selesaikanlah 3(x – 2) = 9

Dengan menghilangkan tanda kurung, maka:  3x – 6 = 9

Dengan pengaturan ulang , diperoleh:  3x = 9 + 6

                                                                                3x = 15

                                                                               

Sehingga                                                        x =5

Pemeriksaan : Ruas kiri = 3(5 – 2) = 3(3) = 9 = Ruas kanan

Soal 8. Selesaikanlah 4(2r -3) – 2(r -4) = 3(r – 3) – 1

Dengan menghilangkan tanda kurang, maka:   8r – 12 – 2r + 8 = 3r – 9 -1

                                                                                                8r – 2r -3r = -9 – 1 + 12 – 8

                                                Sehingga             3r = -6

                                                                                r =  = -2

pemeriksaan: Ruas kiri = 4(-4-3)- 2(-2 – 4) = - 28 + 12 = -16

                           Ruas kanan = 3 (- 2 -3) -1 = - 15 – 1= - 16

Sehingga penyelesaian r = -2 adalah benar.